Archimedes

Tamara Schuh, 1C2, 2000-2001

INHALT

Die Arbeiten des Archimedes

Archimedes in seiner Zeit

Das Prinzip des Archimedes

Die Geschichte der goldenen Krone

Quellen

Die Arbeiten des Archimedes

Archimedes wurde um 285 v. Chr. in Syrakus (altgriechische Stadt im heutigen Sizilien) geboren. Er wurde um 212 v. Chr. bei der Eroberung von Syrakus von römischen Soldaten getötet.

Nach dem Studium in Alexandrien (um 245) behielt er, nach Syrakus zurückgekehrt, Verbindungen mit den dortigen Mathematikern.

Die Arbeiten von Archimedes zur Statik sind heute verloren, lassen sich aber zum Teil in großen Zügen aus den Schriften Herons von Alexandrien rekonstruieren.

Die Ableitung des Hebelgesetzes und die Behandlung der Gewichtsverluste schwimmender Körper (Archimedisches Prinzip, Auftrieb) finden sich in den rein mathematischen Schriften.

Archimedes’ großer Ruf in der Antike beruhte hauptsächlich auf seine Arbeiten zur reinen Mathematik.

Unter ihnen ragten die Berechnungen des Inhalts sowie des Schwerpunkts von Flächen und Körpern hervor, die durch Kegelschnitte begrenzt werden (besonders die exakte Quadratur des Parabelsegments und die Kubatur des Rotationsellipsoids sowie von Segmenten des Rotationshyperboloids.) Hierzu diente ihm die Exhaustionsmethode, unter Anwendung des später nach ihm benannten Axioms des Euxodos.

In seinen « Sandrechnungen » entwickelte er ein Verfahren zur Exponentialschreibweise beliebig großer Zahlen.

Weitere Arbeiten behandeln :

· Eine Art Integrationsverfahren zur mechanischen Auffindung der Verhältnisse von Rauminhalten geometrischer Körper

· Die archimedische Spirale (Die ebene Spirale, die ein sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden bewegender Punkt P in einer Ebene beschreibt, wenn diese Gerade gleichzeitig in der Ebene mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um einen im Abstand a befindlichem festen Punkt O rotiert, d.h. in jedem Augenblick Tangente an einem Kreis um O vom Radius a ist. In Polarkoordinaten r, j gilt für sie die Gleichung r=a j (a Konstante).

· Die halbregelmäßigen oder archimedischen Körper (13 von Archimedes gefundenen geometrischen Körper :10 Körper, deren Begrenzungsflächen, im Unterschied zu den 5 platonischen regelmäßigen Vielecke, verschiedener Arten sind, und drei Körper, die von je drei verschiedenen Vielecksarten begrenzt werden.)

· Das »Rinderproblem »,eine den Alexandrinern gestellte Aufgabe der unbestimmten Analysis, deren Lösungen sich nur durch Zahlen mit mehreren 100 000 Stellen ausdrücken ließen,

· Die Umfangsbestimmungen und Quadratur des Kreises mit ein- und umbeschriebenen regelmäßigen Vielecken, die einen guten Näherungswert für die Zahl p ergab , (nämlich 3 10/71<p <3 10/70 ).

Seinen Zeitgenossen war Archimedes jedoch mehr durch die Erfindungen der praktischen Mechanik bekannt, die auf der theoretischen Erfassung der Wirkungsweise der einfachen Maschinen basieren. Zu ihnen zählen :

· Die Wasserschnecke oder archimedische Schraube(Wasserhebegerät, bei dem eine von einem Rohr umschlossene, rotierende Schnecke Wasser auf ein höheres Niveau fördert, z.B. in einem Abwasserpumpwerk)

· Der Flaschenzug

· Seine Kriegsmaschinen (Hebewerke, Schleudern oder seine großen Brennspiegel, die durch die Verbrennung der römischen Flotte legendär wurden)

Archimedes in seiner Zeit

814 BC : Gründung Karthagos von phönizischen Kolonisten

753 BC : Gründung Roms von vereinigten lateinische Stämmen

734 BC : Gründung Syrakus von griechischen Kolonisten von Korinth

306 BC : Geburt Hierons, König von Syrakus

289 BC : Beginn der Herrschaft von Hiketas, Tyrann von Syrakus

287 BC : GEBURT VON ARCHIMEDES

279 BC : Ende der Herrschaft von Hiketas

278 BC : Pyrrhos, König der griechischen Stadt Epirus, herrscht über Syrakus

und das griechische Sizilien

276 BC : Pyrrhos verlässt Sizilien

275 BC : Militärische Übernahme von Syrakus

Hieron heiratet Philistis, Tochter von leptines

270 BC : Geburt von Hierons Sohn Gelo

268 BC : Geburt von Marcellus, Konsul von Rom und Eroberer von Syrakus

265 BC : Hiero verteidigt Mamertines und wird zum König von Syrakus erklärt

264 BC : Beginn des ersten Punischen Krieges um die Kontrolle von Sizilien. Syrakus verbindet sich mit Karthago gegen Rom.

263 BC : Hiero unterschreibt einen Friedensvertrag mit Rom nachdem die Römer

Syrakus bedrohen

247 BC : Geburt von Hannibal

241 BC : Ende des ersten Punischen Krieges. Sizilien gehört nun Rom.

230 BC : Geburt von Gelos, Sohn des Hieronymos

218 BC : Beginn des zweiten Punischen Krieges

Hannibal überquert die Alpen und dringt in Italien ein

216 BC : Hannibal bekämpft die Römer in Canae

Tod von Gelo

215 BC : Tod von Hieron

Hieronymos kommt auf den Thron von Syrakus

Syrakus wechselt die Allianz von Rom mit Karthago

214 BC : Hieronymos wird in Leontini umgebracht. Syrakus Alliierte, Adranodoros (Schwiegersohn von Hieron) und Themistos (Schwiegersohn von Gelo) in Syrakus getötet.

Fünf weibliche Familienmitglieder von Hiero werden in einer Römischen

Versammlung zum Tode verurteilt.

Marcellus erobert Leontini.

Hannibals Agenten, Hippokrates und Epikydes, übernehmen die Kontrolle über Syrakus

213 BC : Marcellus attackiert Syrakus, wird aber von Archimedes Kriegsmaschinen geschlagen

Marcellus beginnt mit der Blockade um Syrakus

212 BC : Syrakus kapituliert und wird von den Römern geplündert

TOD VON ARCHIMEDES während der Plünderungen

208 BC : Marcellus wird von Hannibal getötet

201 BC : Ende des zweiten Punischen Krieges. Rom übernimmt die Kontrolle über die karthagischen Territorien außerhalb Afrikas.

183 BC : Tod von Hannibal. Er begeht Selbstmord um nicht von den Römern

gefangen genommen zu werden

149 BC : Beginn des dritten Punischen Krieges

146 BC : Karthago wird am Ende des dritten Punischen Krieges zerstört

75 BC : Cicero entdeckt und restauriert Archimedes Grab.

zeitlinie.htm

Das archimedische Prinzip

Man kann sagen, dass die Studie über die Hydrostatik mit Archimedes im 3. Jahrhundert vor Christus begann, als er das Problem mit Hierons goldener Krone löste.

Ein Körper, den man in eine Flüssigkeit taucht, verschiebt einen Volumen der Flüssigkeit seinem Eigenen entspricht. Ein Experiment zeigt auch, dass ein versenktes Objekt leichter zu sein scheint : das Wasser drückt es nach oben. Dies scheint jedem ganz selbstverständlich, der versucht einen Luftballon unter Wasser zu halten.

Archimedes präzisiert das Phänomen aber auch quantitativ mit dem sogenannten Archimedes Prinzip, das sagt, dass ein Objekt, das in eine Flüssigkeit getaucht wird, leichter erscheint : es wird von einer Kraft nach oben gedrückt. Diese aufsteigende Kraft entspricht dem Gewicht der verschobenen Flüssigkeit. Sie wird von der Flüssigkeit ausgeübt und wird die « Schubkraft von Archimedes » genannt. Ein Körper von 10 N der 2 N verschiebt « wiegt » nur noch 8 N in der Flüssigkeit.

Die Schubkraft von Archimedes kommt von dem Gewicht das auf die Flüssigkeit wirkt. Sie hat ihre Herkunft vom Unterschied des Drucks, der zwischen dem oberen und dem unteren Teil des Objekts besteht. Dieser Unterschied besteht immer, wenn der Druck sich mit der Höhe verändert.

Nehmen wir einen vollen Würfel, dessen Flächen eine Oberfläche S hat, den man in eine Flüssigkeit von der Dichte r_f taucht. Der manometrische Druck auf der unteren Fläche p_b = r_f g h_b, (h= Tiefe) ist größer als der manometrische Druck auf der oberen Fläche p_s = r_f g h_s. Der Unterschied

Dp = r_f g (h_b – h_s) = r_f g h

ist die Herkunft von der « Schubkraft von Archimedes » F_a. Die Kraft des Drucks der nach oben geht ist quantitativ größer als die des Drucks der nach unten geht.

F_a = S Dp = r_f g S h

Sh = V :das Volumen des Körpers, entspricht dem Volumen der verschobenen Flüssigkeit wenn der Körper total eingetaucht ist .

Die Masse der verschobenen Flüssigkeit ist mf = r_f V .

F_a = g r_f V = m_f g

Die goldene Krone

Im ersten Jahrhundert vor Christus berichtet der römische Architekt Vitruvius wie Archimedes den Betrug an der Herstellung der Goldenen Krone von Hiero, dem König von Syrakus, entlarvte.

Die Krone hatte die Form eines Kranzes, wie man sie auf Bildern von mazedonischen Grabstätten sieht. Hiero wollte diesen Kranz wahrscheinlich einer Gottesstatue aufsetzen.

Doch er hatte den Verdacht, dass die Krone nicht nur aus Gold war, sondern dass ein Teil des Goldes durch Silber ersetzt worden war. Das Gewicht der Krone war identisch mit dem Gewicht des Goldes, das dem Goldschmied übergeben worden war.

Hiero ließ Archimedes kommen und bat ihn herauszufinden, ob die Krone aus purem Gold sei oder nicht. Da die Krone ein heiliges Objekt war, musste Archimedes eine Methode finden, bei der der Kranz nicht beschädigt wurde.

Archimedes gab nicht auf, bis er das Geheimnis lösen konnte. Er dachte lange darüber nach, bis er eines Tages eine Idee hatte. Er war gerade dabei sich fürs Bad fertigzumachen, die Wanne war bis oben hin voll. Als er dann hineinstieg, lief das Wasser über, wie schon Hunderte Male zuvor. Doch dies war das erste Mal, dass er darüber nachdachte. Er fragte sich, wie viel Wasser er wohl verschüttet habe. Er erkannte sofort, dass das verschüttete Wasser dem Volumen seines Körpers entsprach.

Jetzt versuchte Archimedes das Gleiche mit der Krone. Da Gold viel schwerer ist als Silber ist das Volumen von 10 Pfund purem Gold kleiner als das von 7 Pfund Gold und 3 Pfund Silber.

Besteht die Krone also aus purem Gold, verdrängt sie die gleiche Menge Wasser wie ein anderes Objekt aus 10 Pfund purem Gold. Doch als er den Test mit der Krone machte, entdeckte er, dass mehr Wasser überlief woraus er schließen konnte, dass der Kranz nicht aus purem Gold war, sondern dass es sich um ein Gemisch handelt. « Eurêka !» , (« Ich habe es gefunden ») soll Archimedes bei dieser Entdeckung gerufen haben.

Diese Methode wurde jedoch oft aus verschiedenen Gründen kritisiert.

1. Obwohl Vitruvius sie als ein Resultat grenzenloser Genialität beschreibt, erfordert sie jedoch weniger Imagination als er Archimedes in seinen anderen Büchern bescheinigt

2. Weder das Gesetz der Tragkraft noch das Gesetz des Hebels werden mit dieser Methode genutzt.

3. Bei dieser Methode ist es schwierig für Archimedes die Messungen exakt durchzuführen.

Der dritte Punkt braucht eine nähere Ausführung. Der größte bekannte Kranz aus Archimedes Zeiten ist der aus Vergina. Der maximale Diameter des Randes beträgt 18,5 Zentimeter und die Masse beträgt 714 Gramm, es fehlen jedoch einige Blätter. Um das Ganze zu illustrieren nehmen wir an, dass die Krone 1000 Gramm wiegt und dass der Behälter ein runde Öffnung mit einem Diameter von etwa 20 Zentimeter hat. Die Öffnung hätte dann eine Fläche von 314 Quadratzentimeter.

Da Gold eine Dichte von 19,3 Gramm/Kubikzentimeter hat, beträgt das Volumen von 1000 Gramm Gold 1000 / 19,3 = 51,8 Kubikzentimeter. Eine solche Menge Gold hebt das Niveau des Wassers im Behälter um 51,8 / 314 = 0,165 Zentimeter.

Nehmen wir jetzt an, dass der unehrliche Schmied 30% (300g) vom Gold in der Krone durch Silber ersetzt hat. Das Silber hat eine Dichte von 10,6 Gramm/Kubikzentimeter, und so hat die Gold-Silber Krone ein Volumen von 700/19,3 + 300/10,6 = 64,6 Kubikzentimeter. Eine solche Krone hebt das Wasserniveau im Behälter um 64,6 / 314 = 0,206 Zentimeter.

Der Unterschied der beiden Wasserhöhen beträgt in diesem Fall 0,206 – 0,165 =0,41 Millimeter. Das ist ein viel zu kleiner Unterschied um direkt eine genaue Beobachtung zu machen. Es wäre nämlich auch noch möglich, dass es durch die Oberflächenspannung kleine Ungenauigkeiten in den Messungen gibt oder es könnten Luftblasen unter den Blättern des Kranzes hängen geblieben sein. Dazu kommt noch, dass der Niveauunterschied noch weniger als 0,41 Millimeter beträgt, wenn die Masse der Krone niedriger als 1000 Gramm war oder wenn der Diameter der Öffnung vom Behälter größer war als 20 Zentimeter oder wenn weniger als 30% vom Gold durch Silber ersetzt wurden.

Eine einfallsreichere und praktischere Methode um den Betrug aufzudecken wäre eine gewesen, bei der Archimedes sein Gesetz der Tragkraft und sein Gesetz des Hebels anwenden würde :

Man nimmt eine Waage an die man an ein Ende die Krone und an das andere Ende ein Stück Gold das die gleiche Masse hat befestigt. Dann taucht man die Krone und das Stück Gold, die beide an der Waage hängen, in einen Behälter voll Wasser. Wenn die Waage im Gleichgewicht bleibt bedeutet dies, dass die Dichte des Kranzes die gleiche ist als die des Goldes, mit anderen Worten auch aus Gold besteht. Kippt die Waage jedoch zur Seite des Goldes beweist dies, dass das Volumen der Krone größer ist als der des puren Goldes und dass seine Dichte kleiner ist als die des Goldes. Es handelt sich dann dabei um eine Mischung von Gold mit einem leichteren
Material.

Um diese Methode in der Praxis zu überprüfen, nehmen wir wieder an, die Masse der Krone sei 1000 Gramm und besteht aus 70% Gold und aus 30% Silber.

Da das Volumen 64,6 Kubikzentimeter beträgt, werden auch 64,6 Gramm Wasser verschoben. Die Dichte des Wassers beträgt nämlich 1,00 Gramm/Kubikzentimeter.

Die scheinbare Masse im Wasser beträgt 1000 – 64,6 = 935,4 Gramm. Das Volumen vom Gold ist 51,8 Kubikzentimeter und hat im Wasser eine scheinbare Masse von 1000 – 51,8 = 948,2 Gramm.

Wenn also jetzt beide Körper im Wasser sind, macht das einen Unterschied von 12,8 Gramm aus. Die Waagen zu Archimedes Zeiten waren durchaus fähig einen solchen Unterschied anzuzeigen. Die möglichen Fehler die bei Vitruvius Methode auftauchen konnten, sind hier ausgeschlossen.

Es sollte aber auch bemerkt werden, dass die Methode mit der Waage auch funktioniert, wenn die beiden Körper nicht die gleiche Masse haben. Man muss nur die Stange der Waage so anpassen, dass man ein Gleichgewicht hat bevor man die Körper ins Wasser taucht.

Quellen

Brockhaus Enzyklopädie in 23 Bänden

Physique Eugène Hecht ITP De Boeck Université

Meyers Kleine Enzyklopädie Mathematik

The Book of Virtues William J.Bennet, Simon & Schuster , New York 93

http://mcs.drexel.edu/Archimedes